A pedido de alunos, ex-alunos e visitantes do site, vou resolver por aqui a prova de Estatística aplicada em março de 2012 para o concurso público de Agente Fiscal da Receita Municipal da Prefeitura Municipal de Porto Alegre (AFRM). As provas foram aplicadas pela Banca da Fundação do Ministério Público (FMP). Adianto que foi uma prova polêmica, gerando inúmeros recursos. No Curso onde ministrei aulas, houve uma revolta geral entre os alunos em relação a essa prova, principalmente em relação a conteúdos que estariam fora do conteúdo programático, apresentado em Edital. Contudo, como dizem em futebol… treino é treino, jogo é jogo… E quem treinou pênaltis, via de regra se dá bem. Vamos às questões:

41 – Considere as afirmações abaixo:

I – O coeficiente de variação é a razão entre a variância (absoluta) e o quadrado da média aritmética.
II – A variância é um número maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1.
III – A mediana é maior que o segundo quartil e menor que o terceiro quartil.

É correto afirmar que
(A) apenas a afirmativa I está correta.
(B) apenas a afirmativa II está correta.
(C) apenas a afirmativa III está correta.
(D) apenas as afirmativas I e II estão corretas.
(E) as afirmativas I, II e III estão incorretas.

Resolução: Em relação ao item I, o coeficiente de variação é a razão entre o desvio-padrão e a média aritmética. O examinador tentou fazer uma pegadinha de mau gosto, induzindo candidatos capacitados ao erro. O item II se refere ao intervalo de validade do coeficiente de correlação (-1, 1) – nada a ver com variância. Aliás, a variância absoluta pode assumir qualquer valor positivo. Finalmente, a assertiva III afirma que a mediana é maior que o segundo quartil. Na verdade, a mediana e o segundo quartil são medidas equivalentes. Mediana e segundo quartil é a mesma coisa. Portanto, todas as afirmações estão incorretas. Letra E. Ao lermos as alternativas anteriores, dá a impressão que a última alternativa seria I, II e III corretas. Mas, justo na E, houve inversão de corretas para incorretas. Concurso público tem que ter atenção mesmo! Questão teórica, apenas isso.

42 – Considere X uma variável com distribuição uniforme no intervalo (2,4). A função densidade de probabilidade da variável Y = 2X +5 é:

(A) 1/2, no intervalo (2,4).
(B) 1/4, no intervalo (2,4).
(C) 1/2, no intervalo (9,13).
(D) 1/4, no intervalo (9,13).
(E) 1/3, no intervalo (9,13).

Resolução: A questão versa sobre uma distribuição uniforme. No Edital não constava esse conteúdo de forma explícita. Mas, ao se referir em Distribuições Contínuas, poderíamos deduzir que fizesse parte do conteúdo. Afinal, as distribuições contínuas são: Distribuição Uniforme, Distribuição Exponencial e Distribuição Normal. Polêmicas à parte, vamos resolver a questão:

O enunciado pede a função densidade de probabilidade da função Y = 2X +5. Antes de mais nada, precisamos definir o intervalo dessa função, substituindo em X os intervalos dados de 2 e 4.

Y = 2X +5 = 2.2 + 5 = 9

Y = 2X +5 = 2.4 + 5 = 13

Portanto, a função Y = 2X +5Y está definida no intervalo (9; 13). Já podemos eliminar as alternativas A e B. O comprimento da função Y é: d= 13 – 9 = 4. E a média dessa função uniforme é 1/d, ou 1/4, ou 0,25, ou 25%. Marca-se, então, com certeza a letra D. Para quem apenas estudou “de leve” distribuição uniforme, já podia tranquilamente resolver essa. Particularmente, entendo que essa não é passível de anulação.

43 – Dois empregados são escolhidos aleatoriamente em uma empresa. A probabilidade de pelo menos um apresentar altura inferior à mediana é:
(A) 0,125.
(B) 0,250.
(C) 0,750.
(D) 0,500.
(E) 0,875.

Resolução: A mediana é uma medida de posição que divide a distribuição em duas partes iguais. Há, portanto, 50% de chances de cada empregado apresentar altura inferior à mediana. Quando se fala em “pelo menos” um empregado apresentar altura inferior à mediana, aceita-se apenas o empregado A, ou apenas o empregado B, ou até mesmo ambos os empregados. Só o que não pode é que ambos estejam acima da mediana, ou seja, 0,50 x 0,50 = 0,25. Da probabilidade total, que é 1, só não podemos aceitar 0,25, ou seja: a probabilidade pedida é de 1 – 0,25 = 0,75. Letra C.

44 – Considere X1, X2, X3, X4, elementos de uma amostra aleatória simples de tamanho 4 retirada de uma população de média e desvio padrão diferentes de zero. Sejam os estimadores A = (X1+X2+X3+X4)/4 e B = (X1+X2+X3)/3.

Analise as afirmações abaixo.

I – A é um estimador não tendencioso de μ.
II – B é um estimador não tendencioso de μ.
III – A variância de A é maior que a variância de B.

É correto afirmar que:

(A) apenas I está correto.
(B) apenas II está correto.
(C) apenas III está correto.
(D) apenas I e II estão corretos.
(E) apenas II e III estão corretos.

Resolução: Estimadores são medidas amostrais que buscam se aproximarem dos parâmetros, que são medidas populacionais. Tanto em A, quanto em B, temos o valor da média amostral, que é um estimador pontual não tendencioso. Regra geral, o valor esperado de uma medida amostral tende à média da amostra.

Em relação ao item III, percebe-se que a variância de A é inferior à de B, pois A tem um tamanho amostral maior. Lembrem-se de que a fórmula da variância da amostra é σ²/n, por isso, quanto maior n, menor a variância. Portanto, I e II corretas; item III, errado. Letra D. Um pouco de leitura acerca do estudo da amostragem e do comportamento de suas medidas já bastaria para responder corretamente à questão.

45 – Considere o modelo de regressão linear clássico, Yi = β0 + β1Xi + μi estimado pelo método de mínimos quadrados (ordinário) com base em uma amostra de n pares de valores (Xi,Yi) e as afirmações abaixo:
I – se existir autocorrelação nos resíduos, os estimadores continuarão sendo não viesados (não tendenciosos) e consistentes.
II – quanto maior for a variância da variável explicativa X, menor será o erro padrão do coeficiente angular β1.
III – se β1 = 1, a correlação linear entre as variáveis é perfeita (pXY = 1).
É correto afirmar que:
(A) apenas I está correto.
(B) apenas II está correto.
(C) apenas III está correto.
(D) apenas II e III estão corretos.
(E) apenas I e II estão corretos.

Resolução: O edital não faz menção ao modelo de autocorrelação, portanto é uma questão que pode ser anulada. O item I eu nem imagino como se responde, nem faço questão de pesquisar. O item II está correto, uma vez que o erro padrão do coeficiente angular β1 e a variância da variável explicativa são grandezas inversas. Por fim, no item III, β1 é apenas o coefiente angular da variável explicativa, nada podendo afirmar sobre a correlação das variáveis. Eu ficaria entre a B e a E. O gabarito oficial considerou letra E, como correta. Questão de arrepiar os cabelos: não mede conhecimento de quem estudou e nivela por baixo a classificação geral do concurso, colocando em um mesmo patamar quem estudou e quem não estudou.

Trabalhamos aqui 5 questões. A questão 41 e 43 eram fáceis. Numa prova dessas, era obrigação acertar essas duas. A 42 também era fácil, ocorre que o edital não previa o assunto Distribuição Uniforme. A questão 44 foi bem teórica, envolvendo conceitos de amostragem. Não sei o que o examinador quis com a questão 45…

Mais uns dias e terminamos as outras 5 questões de Estatística. Até lá e forte abraço!

Fiquem com Deus!