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Resolvo aqui a prova de Estatística para o Concurso Público de Auditor Público Externo – Área Administração, elaborada pela banca da FMP em 2011. Com exceção da última questão, que realmente considerei difícil, as outras, para quem estudou, foram fáceis. Questões envolvendo conceitos sobre as medidas de tendência central e as medidas de dispersão sempre caem de alguma forma, assim como questões de probabilidades. Já questões envolvendo tipos de amostragem confesso que são exceção… mas fazer o que… resolveu fazer concurso, estuda o conteúdo todo!

71 – Considere as afirmações abaixo:

I – O coeficiente de variação é a razão entre a média aritmética e o desvio padrão.

II – A variância tem unidade de medida igual a da média geométrica.

III – A mediana é menor que o terceiro quartil.

É correto afirmar que:

(A) as afirmativas I, II e III estão corretas.

(B) apenas as afirmativas I e III estão corretas.

(C) apenas as afirmativas II e III estão corretas.

(D) apenas a afirmativa II está correta.

(E) apenas a afirmativa III está correta.

 

Resolução: A assertiva I está errada. A razão entre o desvio-padrão e a média aritmética é que corresponde ao coeficiente de variação. A assertiva II também está errada, pois a média geométrica, assim como a média aritmética, tem unidade de medida igual ao da variável em estudo. A variância, por sua vez, tem unidade de medida ao quadrado da unidade de medida. A assertiva III é a única correta, pois a mediana corresponde ao segundo quartil, que está abaixo do segundo quartil. Portanto a resposta correta é a letra E. Registro que essa questão foi anulada, possivelmente pela interpretação de que com dados negativos, o terceiro quartil seria maior que a mediana.

 

72 – A média e o desvio padrão dos salários dos empregados de uma empresa são, respectivamente, R$1.000,00 e R$ 200,00. Está previsto para o próximo ano um aumento salarial de 5%, mais uma parcela fixa de R$ 70,00. O coeficiente de variação do novo salário desses empregados será:

(A) 0,1875.

(B) 5,3333.

(C) 0,2500.

(D) 4,0000.

(E) 0,2000.

 

Resolução: questão envolvendo propriedades da média e do desvio-padrão. A média é afetada pelas quatro operações envolvendo os elementos da distribuição (soma, subtração, produto e divisão). Então, nesse caso, a média seria também aumentada em 5%, além de sofrer um acréscimo fixo de 70. Ou seja, 5% de 1.000 corresponde a 50. A média passa a ser então 1.120 (1.000 + 50 + 70). Já no desvio-padrão, multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante. Na soma, não se altera. Assim, o desvio-padrão aumenta em 5%, ou seja, passa de 200 para 210. Como o Coeficiente de Variação é a divisão entre o desvio-padrão e a média, fica em 210/1.120 = 0,1875. Essa medida estará sempre entre 0 e 1. Quanto mais próxima de 1, mais heterogênea será a distribuição. Quanto mais próxima de 0, mais homogênea será a distribuição. Letra B.

73 – Dois professores corrigem a prova de redação de um concurso público. O professor A corrige o dobro de provas do que o professor B. Sabe-se que 60% das provas corrigidas pelo professor A tiveram nota superior a 7, enquanto apenas 20% das provas corrigidas pelo professor B tiveram nota superior a 7. Se um candidato teve conceito não superior a 7, a probabilidade de sua prova ter sido corrigida pelo professor A é:

(A) 0,85571.

(B) 0,75000.

(C) 0,33333.

(D) 0,50000.

(E) 0,25000.

 

Resolução: Como em nenhum momento o examinador me afirma o número de provas corrigidas, vou atribuir um valor que facilite a minha vida nessa questão: imaginemos então 300 provas. O professor A corrige 200 e o professor B corrige 100, certo? Se 60% das provas corrigidas pelo professor A tiveram nota superior a 7, então teremos um total de 60% sobre 200 provas, que fica em 120 provas. Bom, 20% das provas corrigidas pelo professor B tiveram nota superior a 7. Seguindo o mesmo raciocínio, o professor B teve 20 provas com nota superior a 7, afinal, 20% de 100 provas é 20. Tivemos então um total de 140 alunos com nota superior a 7 (120 + 20), e um total de 160 alunos com nota não superior a 7 (300 – 140). Sabemos também que o professor A corrigiu 80 provas com notas não superiores a 7 (200 – 120).

Agora vem a pergunta: Se um candidato teve conceito não superior a 7, qual a probabilidade de sua prova ter sido corrigida pelo professor A??? Essa questão envolve probabilidade condicional, pois ele está restringindo o universo em provas com notas não superiores a 7, que são 160. E está pedindo, dessas 160, a probabilidade de ser corrigida pelo Professor A. Ora, o Professor A corrigiu 80 provas com notas abaixo de 7. Então, considerando a probabilidade sendo “aquilo que eu quero” sobre “aquilo que eu tenho”, ficaremos com 80/160 = 0,50. Letra D.

 

74 – Considere a distribuição de probabilidade abaixo.

[custom_table]

x 1 2 3 4 5
f(x) 0,1 p 0,2 0,1 0,1

[/custom_table]

A moda e a mediana de X são, respectivamente:

(A) moda =1, 4 e 5, mediana = 3.

(B) moda = 2, mediana = 2.

(C) moda = 0,1, mediana = 0,5.

(D) moda = 0,5, mediana = 3.

(E) moda = 0,1, mediana = 2.

 

Resolução: questão envolvendo função densidade de probabilidades f(x), onde a função é uma probabilidade. Ora, sabemos que a soma de todas probabilidades de um determinado experimento aleatório têm necessariamente de ser igual a 1. Portanto, teremos p = 0,50. A moda é a medida de tendência central mais recorrente, ou seja, o elemento onde a função tem uma probabilidade maior, que será justamente o valor de p, ou seja, 0,50, que aponta para a variável 2. Essa é a moda. A mediana corresponde ao valor central da distribuição. Então imaginemos uma distribuição da seguinte forma: 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5. Vemos que o 1 ocorre uma vez em dez. Probabilidade de 0,10. Vemos que o 2 ocorre justamente 5 vezes. Probabilidade de de 5 em 10, ou seja, 0,50. O elemento 3 tem duas ocorrências, e o 4 e 5 tem apenas uma ocorrência, afinal, suas probabilidades, assim como a variável 1, são de 0,10, conforme a tabela da questão. Nesse rol crescente de elementos, vemos que o elemento central é o quinto e o sexto, que correspondem justamente a 2. Portanto a mediana também é igual a 2. Pela moda, a questão já seria respondida. Letra B.

 

75 – Considere uma variável aleatória com distribuição qualquer de uma população infinita. Em amostras aleatórias simples de tamanho n, retiradas desta população, a distribuição da média amostral tem:

(A) distribuição Normal, com a mesma média e a mesma variância da população.

(B) a média e a variância iguais às da população, com distribuição não necessariamente Normal.

(C) a mesma média da população e a variância 1/n vezes a variância populacional.

(D) distribuição Normal, com média zero e variância unitária.

(E) a mesma média da população, mas com variância n vezes maior.

 

Resolução: questão mais difícil de todas, pois raramente cai algo sobre amostra aleatória simples (AAS) em concursos públicos, e envolve teoria mesmo. A amostragem aleatória simples (AAS) é a maneira mais fácil para selecionarmos uma amostra probabilística de uma população. Sendo a população infinita, caso da questão, então as retiradas com e sem reposição serão equivalentes, isto é, se a população for infinita (ou então muito grande), o fato de se recolocar o elemento retirado de volta na população não vai afetar em nada a probabilidade de extração do elemento seguinte. Assim, a média da amostra tende a ser igual à média da população, e a variância multiplicada por 1/n. Letra C.

Prova curtinha essa de Estatística da FMP: quem acertou 3 questões, considero que já se deu bem. Deixo um abraço a todos e até a próxima!

 

 

 

 

 

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