Sempre que temos uma função escrita na forma y = f (x), dizemos que y é uma função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra, dizemos que y é uma função implícita de x. Vejamos, por exemplo, a equação explícita y = 2x4 + 3. Ocorre que 2x4 – y = -3 é a mesma função, só que na forma implícita de x.
O gremista amigavelmente ao meu lado é o Guilherme, estudante de Administração de Empresas da UFRGS. Tínhamos recém estudado algumas noções de limites, derivadas e máximos e mínimos relativos e absolutos de uma função qualquer. Naturalmente que para derivarmos implicitamente, devemos ter um bom domínio das regras de derivação. Estava dando aula de Cálculo e surgiram alguns problemas sobre derivação implícita. E confesso que tive certa dificuldade para relembrar as regras sobre esse método de derivação. Ocorre que nem sempre conseguimos isolar o y em uma função. Por exemplo, como podemos explicitar y em uma função desse tipo: y4 + 3xy + 2 ln y = 2x ?
Nenhum doutor em álgebra vai conseguir isolar o y da equação acima! Na verdade, costuma-se, via de regra, derivar uma função com o y já explicitado, como, por exemplo, em y = 5x + 3 ln 2x -1. Só por curiosidade, a derivada dessa função ficaria: y´= 5 + 6/(2x-1). Fácil, né.
Ocorre que, usando a Regra da Cadeia, podemos determinar a derivada de y sem necessariamente ter de explicitar y. Podemos fazer um teste, derivando x2 + y2 = 4. Essa função define y = f (x) de forma implícita. Podemos derivar ambos os lados da igualdade: (x2 + y2) ‘ = (4) ‘. Ou, (x2) ‘ + (y2) ‘ = 0. Usando então a Regra da Cadeia teremos: 2x +2yy’ = 0.
Opa, não lembra da Regra da Cadeia? Fazemos assim, derivamos x2 em relação a x. Que fica 2x. E depois deriva y2 em relação a y, que fica 2yy’ (afinal não sabemos quem é y, então devemos colocar no final y’).
Voltando em 2x +2yy’ = 0, passamos a isolar y. Que fica: 2yy’ = -2x, e, finalmente, y’ = -x/y. Esse é o segredo de derivar implicitamente: derivar a função dos dois lados, em relação a x e em relação a y. Só isso.
E a função lá de cima, como derivar então? Vamos lá:
y4 + 3xy + 2 ln y = 2x
(y4 + 3xy + 2 ln y) ‘ = (2x) ‘
(y4) ‘ + (3xy) ‘ + (2 ln y) ‘ = 2
4y3 y ‘ + 3y + 3xy’ + (2/y) y ‘ = 2
y ‘ (4y3 + 3x + 2/y) = 2 – 3y , então,
y’ = (2 – 3y) / (4y3 + 3y + 3x + 2/y)
Perceba então que a função foi derivada, sem precisar isolar y. Bom, era isso, e espero ter ajudado nesse pequeno resumo. Até a próxima!