Analisando a função afim

Umas das principais funções que estudamos desde o ensino fundamental e médio (até o ensino superior para alguns), é a função do 1° grau, também conhecida como função afim. Essa função é também estudada em diversas disciplinas de Cálculo e Estatística em Cursos de Graduação. Na verdade, no estudo do Cálculo ela é fundamental, uma vez que para se saber a equação de uma reta tangente a uma curva em um dado ponto, precisamos saber as bases de sua formação.

Desde comecei a dar aulas particulares de Cálculo em Porto Alegre, notei que a dificuldade dos alunos residem, muitas vezes, em conceitos básicos. A compreensão do comportamento de uma função afim é indispensável para se ter sucesso em cadeiras de Cálculo, que invariavelmente costumam reprovar muitos calouros.

Inicialmente, vamos observar um gráfico qualquer de uma função afim:

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Notamos que, antes de tudo, o gráfico da função afim é sempre representado por uma reta. E essa reta necessariamente deve ser crescente ou decrescente. A função ao lado demonstra uma função afim decrescente, pois, à medida que avançamos no eixo X, observamos que a função descresce em Y. Se a função não for crescente nem descrescente, ela não é função afim, mas, sim, função constante, que não será o foco de nossa análise aqui.

Toda e qualquer  função afim tem por expressão algébrica a seguinte forma:

Y = AX + B;

Onde:

A: é o coeficiente angular da reta, também denominado declividade ou  inclinação, se A>0, temos inclinação positiva ou crescente; se A<0, temos inclinação negativa, ou descrescente. Essa inclinação pode ser obtida de diversas formas:

- pela razão entre a variação de y e a variação de x: Δy/Δx, onde  Δy = Y2 – Y1; e Δx = X2 – X1;

- ou pela derivada da reta tangente a uma curva em determinado ponto.

B: é o coeficiente linear da reta, ou intercepto em Y, ou seja, corresponde à intersecção da reta com o eixo Y. Na reta acima, notamos que esse coeficiente será algum valor acima de 4, pois notamos que a reta cruza o eixo Y em algum valor acima de 4. Também podemos chamar de termo independente da expressão, isto é, é o valor que independe do valor assumido por X na equação da reta. Assim, quando X for nulo, teremos o cruzamento da reta em Y.

Na função acima, temos informados dois pontos: (3, 4) e (5, 2); portanto Δy = 2 – 4 = -2; e Δx = 5 – 3 = 2; assim, temos Δy/Δx = -2/2 = -1; ou seja A=Δy/Δx = -2/2 = -1. Falta-nos agora o valor de B (coeficiente linear).

Temos como forma genérica de uma reta a seguinte função: Y = AX + B. Substituindo A por -1, e X e Y, escolhemos um dos dois pontos dados. Escolho (3, 4), assim: X = 3 e Y = 4.

Então, temos: 4 = -1 . 3 + B, isolando B, temos: B = 4 + 3 = 7, logo o coeficiente linear será igual a 7, ou seja, a reta cruzou o eixo das ordenadas em 7; e a função que representa a reta acima é: Y = – X + 7.

Sabendo disso, podemos calcular o zero da função, ou raiz da função afim. A raiz, ou zero de uma função, é o valor de X que anula a função, ou seja, a função fica zerada. Dessa forma, devemos ter: Y = 0; ou -X +7 = o, logo X = 7.

Isso significa que a função cruzará o eixo das abscissas em 7, ou no ponto (7, 0). Como a função acima é descrescente, ela passa de positiva para negativa a partir desse ponto.

Bom, era isso. Deixo forte abraço a todos os visitantes do site e até a próxima!

Prova de Cálculo extravestibular UFRGS 2011 comentada

Auxiliei nesse primeiro semestre de 2011 um estudante de Agronomia da ULBRA em sua preparação para a prova extravestibular da UFRGS. Valeu a pena: ele passou e vai economizar mensalmente o que pagava na luterana. Esse modelo de ingresso na UFRGS é bem interessante: pouco divulgado, logo, pouca concorrência, e provas razoáveis. Sinceramente, é mais tranquilo que o ingresso via vestibular. Muitos não sabem desse atalho pra Federal. Consegui com meu aluno em primeira mão as 3 questões de Cálculo do ingresso extravestibular da UFRGS do ano de 2011 que fizeram parte da prova de Engenheiro Agrônomo. Creio que já ajuda, por que essas provas anteriores dessa modalidade de ingresso são pouco divulgadas por aí. E, de canja, comento as respostas.

01. Considere o gráfico:

As curvas A e B desse gráfico são representadas, respectivamente, pelas equações

A)  y = 4x + 1   e  y = x² - 0,02x + 8

B)  y = 4x – 1   e  y = x² - 0,02x – 8

C)  y = -4x + 1   e  y = x² - 0,02x – 8

D)  y = 4x – 1   e  y = -x² -  0,02x – 8

E)  y = -4x – 1   e  y = -x² + 0,02x + 8

Comentários: Questão fácil, basta termos uma noção de funções do 1º e 2º graus. Em primeiro lugar, o exercício fala em duas curvas. Está errado. Temos, na verdade, uma reta e uma curva, respectivamente A e B. A reta representa uma função afim (do 1º grau) crescente, portanto seu coeficiente angular é positivo. A mesma reta cruza o eixo das ordenadas na parte negativa (de baixo), logo o coeficiente linear é negativo. As assertivas B e D contemplam inclinação positiva e intercepto em y negativo, e as restantes já eliminamos. A curva B parece ser uma parábola com concavidade para cima, portanto o coeficiente do termo quadrático em  x² deve necessariamente ser positivo. Eliminamos a alternativa D, e a resposta é B.

02. Considere as afirmações abaixo, sobre derivada.

I – f (x) = 2x+1 tem como primeira derivada f ‘ (x) = 2

II – f (x) = 2x+1 tem como segunda derivada f ‘ ‘ (x) = 1

III – (fg) ‘ = f g’ + f g

Quais estão corretas?

A)  Apenas I

B)  Apenas II

C)  Apenas III

D)  Apenas I e II

E)  Todas estão corretas

Comentários: Outra questão fácil. O item I está correto, pois a derivada de 2x+1 é 2. Logo, a segunda derivada da mesma função é zero, pois a derivada de 2 (ou de qualquer constante) é igual a zero. Assim, temos o item II errado. Para finalizar, o item III trata da derivada do produto de duas funções, que é (fg) ‘ = f g’ + f ‘ g; logo, a referida afirmação está errada. Portanto, gabarito = letra A: somente a primeira correta!

03. Considere o enunciado abaixo e as três propostas para completá-lo.

O Cálculo Integral é o estudo das definições , das propriedades e das aplicações de dois conceitos: as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Entre as várias aplicações práticas desse processo, encontra-se o cálculo

1 – da área sob uma curva.

2 – do volume de um sólido.

3 – da probabilidade de um evento acontecer

Quais propostas estão corretas?

A)  Apenas 1

B)  Apenas 2

C)  Apenas 3

D)  Apenas 1 e 2

E)  Todas estão corretas

Comentários: O enunciado da questão foi fielmente copiado da definição de integral disponível na wikipédia, nesse link: http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo. Basta conhecermos um pouco dos conceitos e aplicações das integrais para responder corretamente à questão sem sobressaltos. O processo de integração é inverso ao da derivação. Na verdade, uma integral é uma antiderivada. Existem inúmeras aplicações práticas para o cálculo integral, e as 3 aplicações citadas são algumas delas. Incluiria também a aplicação na Física. A distribuição normal, por exemplo, é um distribuição de probabilidades originada em uma integral definida a partir de uma função densidade de probabilidade. A alternativa correta é a letra E.

Era isso então, gente! Pretendo em outra oportunidade comentar mais uma prova de matemática de um exame extravestibular da UFRGS de anos anteriores para Engenharia Elétrica. Aguardem!

Derivação Implícita

Sempre que temos uma função escrita na forma y = f (x), dizemos que y é uma função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra, dizemos que y é uma função implícita de x. Vejamos, por exemplo, a equação explícita y = 2x⁴ + 3. Ocorre que 2x⁴ – y = -3 é a mesma função, só que na forma implícita de x.

O gremista amigavelmente ao meu lado é o Guilherme, estudante de Administração de Empresas da UFRGS. Tínhamos recém estudado algumas noções de limites, derivadas e máximos e mínimos relativos e absolutos de uma função qualquer. Naturalmente que para derivarmos implicitamente, devemos ter um bom domínio das regras de derivação. Estava dando aula de Cálculo e surgiram alguns problemas sobre derivação implícita. E confesso que tive certa dificuldade para relembrar as regras sobre esse método de derivação. Ocorre que nem sempre conseguimos isolar o y em uma função. Por exemplo, como podemos explicitar y em uma função desse tipo: y⁴ + 3xy + 2 ln y = 2x ?

Nenhum doutor em álgebra vai conseguir isolar o y da equação acima! Na verdade, costuma-se, via de regra, derivar uma função com o y já explicitado, como, por exemplo, em y = 5x + 3 ln 2x -1. Só por curiosidade, a derivada dessa função ficaria:  y´= 5 + 6/(2x-1). Fácil, né.

Ocorre que, usando a Regra da Cadeia, podemos determinar a derivada de y sem necessariamente ter de explicitar y. Podemos fazer um teste, derivando x² + y² = 4. Essa função define y = f (x) de forma implícita. Podemos derivar ambos os lados da igualdade: (x² + y²) ‘ = (4) ‘. Ou,  (x²) ‘ + (y²) ‘ = 0. Usando então a Regra da Cadeia teremos: 2x +2yy’ = 0.

Opa, não lembra da Regra da Cadeia? Fazemos assim, derivamos x² em relação a x. Que fica 2x. E depois deriva y² em relação a y, que fica 2yy’ (afinal não sabemos quem é y, então devemos colocar no final y’).

Voltando em 2x +2yy’ = 0, passamos a isolar y. Que fica: 2yy’ = -2x, e, finalmente, y’ = -x/y. Esse é o segredo de derivar implicitamente: derivar a função dos dois lados, em relação a x e em relação a y. Só isso.

E a função lá de cima, como derivar então? Vamos lá:

y⁴ + 3xy + 2 ln y = 2x

(y⁴ + 3xy + 2 ln y) ‘ = (2x) ‘

(y⁴) ‘ +  (3xy) ‘ + (2 ln y) ‘ = 2

4y³ y ‘ +  3y + 3xy’ + (2/y) y ‘ = 2

y ‘ (4y³ + 3x + 2/y) = 2 – 3y , então,

y’ = (2 – 3y) / (4y³ +  3y + 3x + 2/y)

Perceba então que a função foi derivada, sem precisar isolar y. Bom, era isso, e espero ter ajudado nesse pequeno resumo. Até a próxima!

Função quadrática

Acima, estou entre o Deputado Alexandre Postal (E), já formado em Tecnólogo em Administração pela Unisul, e o Coordenador de Bancada Luiz Teixeira (D), fazendo atualmente o mesmo Curso. Todos colorados. Ano passado estudei muito com o Deputado sobre funções, e a que mais “pegava” era sem dúvidas a função de 2º grau, ou função quadrática. Ela é muito utilizada para o estudo das funções Custo, Receita, Lucro, Demanda e Oferta. Sua forma algébrica segue sempre esse modelo: y=Ax²+Bx+C.

A título de exemplo, vamos discutir um pouco sobre essa função: y=x²-5x+6, abaixo o seu gráfico:

Notamos, em primeiro lugar, que o gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. A concavidade dessa parábola é voltada para cima em razão do coeficiente de x², que é 1, ser positivo. Notamos também que essa função corta o eixo y em 6, ou seja, o intercepto de y será sempre o termo independente da função quadrática, ou seja, C. Em relação ao intercepto em x, chamamos de raízes ou zeros da função quadrática, que obtemos mediante aplicação da fórmula de Bhaskara. No gráfico acima, vemos que a parábola cruza x em 2 e 3. Percebemos também que como a função é côncava para cima, ela tem um valor mínimo, que está no seu vértice.

Nesse caso, o vértice em x pode ser obtido pela média das raízes (2+3)/2, e com esse valor, substituído na função e obtemos o vértice em y. Ou em qualquer caso pelas fórmulas Xv= -B/2A e Yv= -Δ/4A. Nesse caso, repito, o vértice é considerado um mínimo relativo da função quadrática. Entretanto, se ela fosse côncava para baixo, teria um máximo relativo, cujas coordenadas do vértice seriam calculadas pelas mesmas fórmulas.

Claro que aqui procurei resumir um pouco sobre o comportamento de uma função quadrática. Existem outros casos, mas saiba que, regra geral, o A é sempre diferente de zero, do contrário, teríamos uma função do 1º grau. Pode ocorrer da função quadrática não ter raízes reais, mas terá sempre um vértice, obtido pela forma acima descrita, ou igualanda a derivada da funçao a zero. Se você souber derivar, melhor. Se não, siga os passos acima que você possivelmente não irá errar.

Translação de eixos

Ao meu lado, o Fernando Zineli, estudante de Engenharia de Controle e Automação da PUC-RS. Estávamos estudando uma matéria que pega muitos “marinheiros de primeira viagem”: Cálculo. A primeira disciplina de cálculo na graduação envolve os conteúdos de funções, limites, derivadas e integrais. Considero o estudo de funções, possivelmente o mais importante – se pudéssemos categorizar. A correta identificação da função, sua forma algébrica e gráfica são fundamentais para uma completa compreensão dos conteúdos seguintes. Saber como fazer um esboço de uma função, conhecer os atributos das funções de 1º e 2º graus, polinomiais, exponenciais e logaritmicas, racionais, inversas, negativas e modulares. E além disso, saber transpor as funções acima, abaixo, à esquerda, à direita é importante para conhecer a dinâmica das funções através da translação de eixos.

Imagine então uma função comum, bem conhecida, em sua forma algébrica pura: y=x². Bom, começamos vendo que é uma função do 2º grau, ou quadrática, cuja forma gráfica é uma parábola com a concavidade voltada para cima, conforme o desenho ao lado.

Podemos quem sabe “mexer” nessa função. O que ocorreria se fizéssemos y=x²+1? Estaríamos somando à função uma unidade, ou seja, ela passaria a ser f(x)+1, certo? O que graficamente ocorreria com ela? Conforme notamos agora, ela sobe verticalmente uma unidade, portanto esse é um típico caso de translação vertical superior de uma função.

Da mesma forma, subtraindo uma unidade da função: f(x)-1, ou seja, y=x²-1. A função vai descer uma unidade em todo o seu conjunto de acordo com o gráfico à esquerda.

Por sua vez, na translação horizontal, ou seja, ao longo do eixo das abscissas, teremos f(x+1), na seguinte forma algébrica: y=(x+1)². Nesse caso, teremos a chamada translação horizontal à esquerda, conforme o gráfico ao lado.

Agora com f(x-1) teremos a translação horizontal à direita, com a seguinte forma algébrica: y=(x-1)²; e gráfica, como ilustra o gráfico ao lado.

Por fim, teremos a translação negativa quando trocamos o sinal da função. É como se o eixo x fosse um espelho, rebatendo a função a partir dessa perspectiva. Então -f(x) seria y=-x², conforme o gráfico ao lado. Tenho certeza que se você dominar bem a translação de eixos, conhecendo bem o comportamento das funções básicas, não terá maiores dificuldades de seguir em frente no Cálculo, especialmente no estudo de limites e derivação.