Analisando a função afim

Umas das principais funções que estudamos desde o ensino fundamental e médio (até o ensino superior para alguns), é a função do 1° grau, também conhecida como função afim. Essa função é também estudada em diversas disciplinas de Cálculo e Estatística em Cursos de Graduação. Na verdade, no estudo do Cálculo ela é fundamental, uma vez que para se saber a equação de uma reta tangente a uma curva em um dado ponto, precisamos saber as bases de sua formação.

Desde comecei a dar aulas particulares de Cálculo em Porto Alegre, notei que a dificuldade dos alunos residem, muitas vezes, em conceitos básicos. A compreensão do comportamento de uma função afim é indispensável para se ter sucesso em cadeiras de Cálculo, que invariavelmente costumam reprovar muitos calouros.

Inicialmente, vamos observar um gráfico qualquer de uma função afim:

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Notamos que, antes de tudo, o gráfico da função afim é sempre representado por uma reta. E essa reta necessariamente deve ser crescente ou decrescente. A função ao lado demonstra uma função afim decrescente, pois, à medida que avançamos no eixo X, observamos que a função descresce em Y. Se a função não for crescente nem descrescente, ela não é função afim, mas, sim, função constante, que não será o foco de nossa análise aqui.

Toda e qualquer  função afim tem por expressão algébrica a seguinte forma:

Y = AX + B;

Onde:

A: é o coeficiente angular da reta, também denominado declividade ou  inclinação, se A>0, temos inclinação positiva ou crescente; se A<0, temos inclinação negativa, ou descrescente. Essa inclinação pode ser obtida de diversas formas:

- pela razão entre a variação de y e a variação de x: Δy/Δx, onde  Δy = Y2 – Y1; e Δx = X2 – X1;

- ou pela derivada da reta tangente a uma curva em determinado ponto.

B: é o coeficiente linear da reta, ou intercepto em Y, ou seja, corresponde à intersecção da reta com o eixo Y. Na reta acima, notamos que esse coeficiente será algum valor acima de 4, pois notamos que a reta cruza o eixo Y em algum valor acima de 4. Também podemos chamar de termo independente da expressão, isto é, é o valor que independe do valor assumido por X na equação da reta. Assim, quando X for nulo, teremos o cruzamento da reta em Y.

Na função acima, temos informados dois pontos: (3, 4) e (5, 2); portanto Δy = 2 – 4 = -2; e Δx = 5 – 3 = 2; assim, temos Δy/Δx = -2/2 = -1; ou seja A=Δy/Δx = -2/2 = -1. Falta-nos agora o valor de B (coeficiente linear).

Temos como forma genérica de uma reta a seguinte função: Y = AX + B. Substituindo A por -1, e X e Y, escolhemos um dos dois pontos dados. Escolho (3, 4), assim: X = 3 e Y = 4.

Então, temos: 4 = -1 . 3 + B, isolando B, temos: B = 4 + 3 = 7, logo o coeficiente linear será igual a 7, ou seja, a reta cruzou o eixo das ordenadas em 7; e a função que representa a reta acima é: Y = – X + 7.

Sabendo disso, podemos calcular o zero da função, ou raiz da função afim. A raiz, ou zero de uma função, é o valor de X que anula a função, ou seja, a função fica zerada. Dessa forma, devemos ter: Y = 0; ou -X +7 = o, logo X = 7.

Isso significa que a função cruzará o eixo das abscissas em 7, ou no ponto (7, 0). Como a função acima é descrescente, ela passa de positiva para negativa a partir desse ponto.

Bom, era isso. Deixo forte abraço a todos os visitantes do site e até a próxima!

Comentários sobre o Método de Gauss para amortização de empréstimos

Vamos falar um pouco sobre amortização de empréstimos. Na área de financiamentos imobiliários, quando o mutuário não consegue fazer frente às prestações via Tabela Price, acaba recorrendo à Justiça. Tem-se falado que no sistema de Price ocorre a prática do anatocismo (que é proibitiva na legislação nacional), ou seja, a incidência de juros sobre juros inclusa nas prestações iguais e sucessivas. Muitas vezes, para se resolver esses tipos de conflitos, os juízes têm recorrido ao método de Gauss para determinar valores de parcelamentos a juros simples. O Método de Gauss procura identificar a evolução de um financiamento com pagamentos mensais com juros simples, dessa forma, excluindo-se a capitalização dos juros. Em excelente artigo do Dr. Paulo Luiz Durigan, encontrado neste link, temos uma condenação decidida pela Vara Federal Especializada do Sistema Financeiro da Habitação de Curitba a uma instituição financeira, que teve de substituir o sistema Price pelo método de Gauss em um financiamento. Se o caro leitor se interessa pelo tema, vale a pena dar uma lida!

O cálculo dos juros é feito através de uma fórmula de ponderação resultantes no número de parcelas e o valor dos juros devidos, calculados em sua forma simples. O resíduo ao final, se houver, será desprezado, pois se formou a partir de arredondamentos no cálculo dos juros. Abaixo, disponho a fórmula de Gauss para esses cálculos:

Prova resolvida de Matemática (76 a 80) do Concurso Assistente Legislativo Câmara PoA

Enfim, neste post terminaremos de resolver a prova de Matemática para o Concurso Público de Assistente Legislativo da Câmara Municipal de Porto Alegre (nível médio), aplicada pela Fundatec em janeiro de 2012. Vamos  às questões de Matemática de números 76 a 80. Lembrando que a prova completa do concurso de Assistente Legislativo, escaneada em pdf, deixo disponível para download por aqui: Prova Assistente Legislativo.

Somente aqui o concursando e estudante encontra provas resolvidas de concursos públicos recentes aplicados aqui no Rio Grande do Sul: vamos, finalmente, às últimas 5 questões!

Questão 76 – O resto da divisão do polinômio P(x) = x³ – 5x² + 10x – 8 pelo binômio (x – 2) é igual a

A) – 3

B) – 2

C)    0

D)    1

E)    2

Resolução: Questão envolvendo polinômios. Quando dividimos um polinômio qualquer P(x) por um binômio do tipo (x – a), temos que, segundo o Teorema do Resto, o resto da divisão será sempre P(a). Tem-se de fazer x – a = 0, para sabermos que x = a. Na questão acima, temos x – 2 = 0, logo x = 2. Portanto, o resto da divisão de P(x) por aquele binômio será:

P(2) = 2³ – 5 . 2² + 10 . 2 – 8 = 8 – 20 + 20 – 8 = 0. Letra C.

Questão 77 – Dada a função f (x+1) = 4x – 3, calcule f (a+1) – f (a), com a  ≠ 0.

A) 4

B) 5

C) 3a

D) 4a

E) 7a

Resolução: Questão envolvendo somente álgebra de funções. Seja:

f (x+1) = 4x – 3, temos f (x+1) = 4x + 4 – 4 – 3, somei 4 e reduzi 4, nada alterando a função.

f (x+1) = 4x + 4 – 7 = 4(x + 1) – 7, isolando o termo comum da função.

Temos então: se f (x+1) = 4(x + 1) – 7, então f (x) = x – 7

Assim, f (a+1) – f(a) = 4a – 3 – (4a – 7) = 4a – 3 – 4a + 7 = 4. Letra A.

Questão 78 – Sejam os intervalos: 4/5 < x < 5; e -5/6 < y < 13/5, o intervalo que expressa todos os possíveis valores do produto xy é

A) (2/3 ; 13)

B) (-20 ; 13)

C) (4/5 ; 5)

D) (24 ; 65)

E) (- 2/3 ; 13)

Resolução: Nessa, para sabermos o intervalo que expressa todos os possíveis valores do produto xy é preciso que façamos o produto de cada lado dos intervalos de X e Y.

Assim: 4/5 . (-5/6) = -2/3; e  5 . 13/5 = 13. Portanto, o intervalo solicitado é -2/3 < xy < 13. Letra E.

Questão 79 – Num mapa, cuja escala é 1/8.000.000, a estrada que liga as cidades A e B representada por um traço reto de 18 cm. Desse modo, a distância real, em Km, entre as cidades A e B equivale a

A) 720

B) 1.200

C) 1.440

D) 2.250

E) 4.440

Resolução: Nessa, devemos saber um pouco sobre escalas. Se a distância entre as cidades A e B é de 18 cm em uma escala do tipo 1/8.000.000, devemos multiplicar essa distância de 18 cm por 8.000.000, que vai dar um total de 144.000.000 (144 milhões de cm). Transformando cm para m, teremos 1.440.000 m. Transformando, agora, m para Km, teremos 1.440 Km. Letra C.

Questão 80 – Analise o gráfico a seguir:

A função que melhor representa o gráfico da figura é:

A) f (x) = 3x + 4

B) f (x) = – x + 7

C) f (x) = 2x – 4

D) f (x) = – x + 3

E) f (x) = x – 5

Resolução: Nessa questão, que envolve função afim, ou função do 1° grau, temos um gráfico de uma reta e pede-se a expressão algébrica da função que a representa. Pelo gráfico, notamos que a função é descrescente. Logo, sabemos que o coeficiente angular da reta é negativo, ou seja, o coeficiente da variável x é negativo. Com isso, já eliminamos as alternativas A, C e E, pois todas elas possuem coeficiente angular da reta positivo, sendo, portanto, todas elas crescentes. Ficamos entre as alternativas B e D, que têm declividade negativa.

Olhando para o gráfico, notamos que a reta cruza o eixo das ordenadas (y) em um valor acima de 4, ou seja, o termo independente da função afim, denominado coeficiente linear, está acima de 4. Ficamos, portanto, com a letra B. Sem fazer cálculos, somente eliminando alternativas, conseguimos matar a questão em menos de 1 minuto. Isso é concurso público!

Bom, mais uma prova encerrada, e certeza do dever cumprido! Senhores e senhoras, espero realmente ter ajudado a elucidarem algumas dúvidas sobre os tantos conteúdos que vimos ao longo dessas 20 questões. É inegável que o estudo através de provas recentes aliado ao estudo da teoria é ideal. Ao menos eu assim entendo.

Mas é isso, gente. Aceito sugestões para a próxima prova de concurso a ser “dissecada”. E até a próxima!!!

Prova resolvida de Matemática (71 a 75) do Concurso Assistente Legislativo Câmara PoA

Vamos continuar a resolver a prova de Matemática para o Concurso Público de Assistente Legislativo da Câmara Municipal de Porto Alegre (nível médio), aplicada pela Fundatec em janeiro de 2012. Vamos  às questões de Matemática de números 71 a 75. Lembrando que a prova completa do concurso de Assistente Legislativo, escaneada em pdf, deixo disponível para download por aqui: Prova Assistente Legislativo.

Somente aqui o concursando e estudante encontra provas resolvidas de concursos públicos recentes aplicados aqui no Rio Grande do Sul: vamos às próximas 5 questões!

Questão 71 – Considerando β um arco compreendido entre 0 e 2Π, qual, dentre as alternativas seguintes, apresenta uma sentença verdadeira?

A) sen (β) + cos (β) = 1

B) sen (β) – cos (β) = 1

C) sen² (4β) + cos² (4β) = 4

D) sen² (3β) + cos² (3β) = 1

E) sen² (β) + cos² (β) = 0

Resolução: Questão de trigonometria. Para quem estudou, essa foi muito fácil. Considera-se a relação trigonométrica fundamental como: sen² (x) + cos² (x) = 1, com base na relação de Pitágoras no círculo trigonométrico. Ou seja, o quadrado do seno de um arco somado com o quadrado do cosseno do mesmo arco (seja ele qual for) é sempre igual a 1. Dessa forma, a assertiva que melhor se adequa a esse princípio é a de letra D.

Questão 72 – Um aquário tem a forma de um paralelepípedo, com 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 30 cm de altura. Denise tem um balde de forma cilíndrica, com raio da base igual a 10 cm e altura igual a 20 cm. Para encher o aquário com ¾ de seu volume, quantos baldes cheios de água serão necessários? Considere Π = 3.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução: Questão envolvendo raciocínio quantitativo e geometria espacial. Quem estudou levemente isso aí, se deu bem nessa. O volume de um paralelepípedo é o produto de suas dimensões; ou seja: V = largura x comprimento x altura = 30 x 40 x 20 = 24.000 cm³. Precisamos, agora, calcular o volume do balde, que tem forma cilíndrica. O volume de qualquer cilindro é:

V = Π x R² x h = 3 x 10² x 20 = 6.000 cm³.

Consideremos, agora, que ¾ do volume do aquário seja de 24.000 x ¾ = 18.000 cm³. Esse valor corresponde ao volume de água que deveremos colocar no aquário. Ora, se cada balde de água possui 6.000 cm³ de água, precisaremos, então, de 3 baldes cheios para encher o aquário com ¾ de seu volume, afinal 6.000 x 3 = 18.000. Sem dúvidas, a resposta é letra C.

Questão 73 – Um presente de natal foi colocado em uma caixa com 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 30 cm de altura. Para embrulhar completamente essa caixa, quantos centímetros quadrados de papel, no mínimo, são necessários?

A) 4.000

B) 4.500

C) 4.800

D) 5.000

E) 5.200

Resolução: Questão envolvendo apenas geometria espacial – para não errar. Basta, nesse caso, sabermos a fórmula da área total de um paralelepípedo. Consideremos a largula L, o comprimento C, e a altura H. Teremos a seguinte fórmula para a área total (At) de qualquer paralelepípedo:

At = 2 x [ (L x C) + (L x H) + (C x H) ] = 2 x [ (40 x 20) + (40 x 30) + (30 x 20) ]

Assim, At =  2 x [ (800) + (1.200) + (600) ] = 2 x [ 2.600 ] = 5.200. Letra E.

Questão 74 – Sabe-se que o valor máximo atingido por uma função do segundo grau, cuja concavidade está voltada pra baixo, é a ordenada do seu vértice. Então dada a função:

f (x) = 4 (-x – 5) (x – 45)

que representa, em milhares de reais, o lucro de produção de x unidades (x em centenas) de certo produto, qual será o lucro máximo (em milhares de reais) de produção desse produto?

A) 1.800

B) 2.000

C) 2.500

D) 3.200

E) 4.000

Resolução: Questão envolvendo função do segundo grau. No próprio início da questão, o examinador já dá a seguinte dica: o valor máximo atingido por uma função do segundo grau, cuja concavidade está voltada pra baixo, é a ordenada do seu vértice. Só faltava mesmo ele dar a fórmula das coordenadas do vértice.

Bom, o primeiro passo para solucionarmos esse problema é desenvolvermo a equação do 2° grau, que está na forma reduzida f (x) = 4 (-x – 5) (x – 45). Fazendo esse desenvolvimento e o adequado produto entre os dois binômios teremos:

f (x) = -4x² + 160x +900.

É necessária essa forma desenvolvida, pois, agora, sabemos os valores de A, B e C, coeficientes dos termos de qualquer função desse tipo. Portanto A = -4, B = 160, e C = 900.

Agora, podemos calcular o valor do vértice em X e, pegando esse valor, substituímos na função principal desenvolvida. Achei mais fácil de fazer desse modo. O valor do vértice em X, é dado pela seguinte fórmula:

Vx = -B/2A = -160/-8 = 20.

Sabemos, então, que o valor máximo que a função atinge é quando o valor de x é de 20. Substituímos 20 em f (x) = 4 (-x – 5) (x – 45).

Ora, f (20) = 4 (-25) (-25) = 2.500.

Poderíamos, de outra forma, ter calculado direto o vértice em Y, mas precisaríamos saber o valor do discriminante

Δ (delta) = B² – 4AC = 40.000.

Assim, pegaríamos a fórmula do vértice em Y:

Vy = -Δ/4A = -40.000/-16 = 2.500.

Eu faria da primeira maneira, para não ter que calcular Δ, mas isso vai de cada um. Resposta certa: letra C.

Questão 75 – Uma pessoa com 170 cm de altura avista o topo de um prédio a uma distância de 21 m deste, sob um ângulo de 45°, conforme mostra a figura a seguir.

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Nessas condições, a altura do prédio é igual a

A) 21,0 m

B) 22,7 m

C) 24,0 m

D) 25,7 m

E) 26,0 m

Resolução: Lembro que quando começamos a estudar trigonometria no colégio, os primeiros tipos de exercícios que resolvemos são desse tipo. Um triângulo retângulo, um ângulo dado, uma medida de algum lado, e manda calcular os outros. Essa questão não foge disso. A questão saideira deste post é a mais fácil de todas. Pede a altura do prédio que corresponde ao cateto oposto ao ângulo dado. A questão dá também a medida do cateto adjacente ao ângulo dado, que é de 21 cm. Ora, se temos um ângulo e temos a medida do cateto adjacente, podemos facilmente calcular a medida do cateto oposto pela fórmula da tangente, que é tg α = cateto oposto / cateto adjacente. Ocorre que nos é dado a medida do ângulo α, que é de 45°. Ora, a tg 45° = 1, por definição. Seja X a medida do cateto oposto; temos que: tg 45° = X/21. Portanto, resolvendo, teremos X = 21. Não esqueçamos de adicionar a esse valor a altura do observador, portanto, ficando a altura total do prédio em 21 + 1,70 = 22,70 m. Não dê uma de concurseiro novato, caindo na pegadinha de marcar letra A… A resposta correta está logo depois: letra B.

Essa terceira bateria de 5 questões foram mais fáceis de serem resolvidas. O problema mesmo é o tempo. Eu, por exemplo, estou aqui em uma sala com ar condicionado tranquilamente sentado com livros à minha volta, um suco de laranja e um pedaço de bolo para me distrair. Na hora de uma prova de concurso, o ambiente é muitas vezes hostil, com fiscais de olho em ti, te acompanhando no banheiro, no máximo, pode-se tomar uma água morna em salas quentes sem ventilação com bancos duros… E apesar de tudo isso, o cara tem ainda que ter raciocínio rápido na hora da prova e não babar em questões fáceis como essas. Reconheço pois já passei por isso: é buxa!

Quaisquer dúvidas ou comentários ou sugestões de provas e exercícios, escrevam abaixo, que assim que puder, eu certamente responderei!

Espero, no próximo post, finalmente encerrar essa prova de 20 questões de Matemática da Fundatec. Até lá.

Aguardem e estudem!

Excelente documentário da BBC: “The Ascent of Money”, vale a pena conferir!

Disponibilizo aqui vídeo sobre um ótimo documentário sobre a história do dinheiro, finanças, crédito, títulos. Realmente, para quem gosta do assunto, vale a pena assistir! “A Ascensão do Dinheiro” é baseado no décimo livro do professor de Harvard, Niall Ferguson, publicado em 2008, onde ele procura explicar a história financeira do mundo, explorando a forma como o nosso complexo sistema financeiro global evoluiu ao longo dos séculos, como o dinheiro moldou o curso das relações humanas e como a mecânica deste sistema económico funciona para criar uma aparente riqueza sem limites. Para milhões de pessoas, a recessão gerou uma sede de conhecimento sobre a forma como o sistema económico global realmente funciona, em especial quando tantos especialistas financeiros parecem ter sido igualmente apanhados de surpresa. Em “A Ascensão do Dinheiro”, o economista, escritor e historiador Niall Ferguson oferece-nos um vislumbre para estas questões levando os espectadores numa viagem passo a passo pelos marcos da história financeira que criaram este sistema, visitando locais onde ocorreram os principais acontecimentos. Ferguson mantém que a história do dinheiro encontra-se de facto no centro da história humana, com a força económica a determinar o controlo político, guerras com o intuito de criar riqueza e barões financeiros que influenciam o destino de milhões.

A Ascensão do Dinheiro – The Ascent of Money (2009) Ep.1/6: SONHOS DE AVAREZA – DREAMS OF AVARICE from MDDVTM TV4 on Vimeo.

Prova de Física resolvida – Vestibular UFRGS/2012

Publico aqui a resolução completa da prova de Física do Concurso Vestibular UFRGS/2012. Agradeço ao Prof. André Marques que disponibilizou este conteúdo. O Prof. André Marques ministra aulas particulares de Física em Porto Alegre. Acesse o link para obter mais informações e seu contato: Prof. André. A prova de Física pode ser acessada por aqui: Prova_Física_UFRGS. E sua resolução detalhada, acesse provaresolvida.

Caso não consiga acessar os arquivos, solicite por e-mail: contato@aprendamatematica.com, que prontamente encaminharei.

Comentários sobre as provas de informática da Fundatec

A Fundatec divulgou  a lista preliminar das notas para o Concurso Público para diversos Cargos na Câmara Municipal de Porto Alegre. Como dou aulas particulares de Matemática, Estatística, Contabilidade e Matemática Financeira aqui em Porto Alegre, e para cursinhos preparatórios para concursos públicos também, sempre faço uma análise das notas, em geral. Analisei dessa vez o que me chamou a atenção: mais precisamente a lista de notas de Informática para o Concurso Público de Assessor Legislativo e para Assistente Legislativo. O que me impressionou efetivamente nas notas, foram as baixas notas nessa matéria.

Bom, quando eu revisei as provas de alguns alunos meus, me impressionei com a dificuldade da prova de Informática da Fundatec. A prova foi minuciosa. Chata de resolver. Tanto para Assessor quanto para Assistente. Para os dois concursos, eram 10 questões, onde para “sair vivo”, o candidato teria de acertar ao menos a metade. O que se viu foi uma cacetada de notas baixas, alguns raros tirando 6, 5 ou 4. Grande maioria entre 2 e 3 acertos. Que prova ruim!!! Digo que foi uma prova de Informática preponderantemente classificatória. Para imaginar, a candidata que tirou a nota mais alta (110, ou 81% de acertos da prova), ficou de fora, pois acertou 4 em informática e se desclassificou. Se acertasse somente mais uma de informática, já estaria garantida em primeiro lugar! Incrível! Não gosto de falar de injustiça em concursos, mas no caso dessa menina foi.

No meu entendimento, esse tipo de prova acaba nivelando por baixo o certame: provas muito difíceis ou muito fáceis não conseguem selecionar candidatos. Mas isto é na minha reles opinião. Parabéns aos que conseguiram sair vivos na prova de informática da Fundatec. Aos candidatos que farão provas dessa banca, um conselho: cuidado!

Abraço a todos.

Provas anteriores concursos AFRM e Contador do Município de Porto Alegre

Estou divulgando para download as provas anteriores aplicadas para agente fiscal da receita municipal do Município de Porto Alegre. A primeira é do ano de 1993, e a outra, do ano 2000. A outra prova que vou disponibilizar para download por aqui é a prova de Contador da Câmara Municipal de Porto Alegre, aplicada em 2002. Creio que em nenhum outro local na web você encontrará este material. Somente aqui:

Prova AFRM aplicada em 1993:

- prova AFRM1993 – (aproximadamente 7 megas) – sem os gabaritos

Prova AFRM aplicada em 2000:

- prova AFRM parte 1 – (aproximadamente 5 mega) – gabaritos das duas partes no final deste arquivo

- prova AFRM parte 2 – (aproximadamente 4 mega)

Prova Concurso Contador Câmara Municipal de Porto Alegre:

- Contabilidade_Geral_Pública;

- Legislação_Português_Informática;

- Gabaritos_contador_cmpa.

A importância da Contabilidade

Quando as pessoas pensam sobre Contabilidade, imediatamente a associam como uma Ciência Exata ligada à área da Matemática. Esse equivocado conceito, eu entendo que surgiu juntamente com uma visão distorcida do Contador, muitas vezes visto como um profissional bitolado de óculos, chamado antigamente de “guarda-livros”. Na verdade, as atribuições de um Contador sempre foram bem mais amplas.

Publico aqui artigo gentilmente cedido pelo Prof. Julio Battisti sobre a importância da Contabilidade. O site onde você pode encontrar outros artigos interessantes da área contábil e também de informática é http://juliobattisti.com.br. O artigo a seguir é de autoria de Rodrigo de Souza Freitas.

A Importância da Contabilidade

- Contabilidade?

- Fala sério !!!! Você deve ser louco !!!! Só vê matemática não é?

A parábola acima é dita 7 vezes em cada 10 comentários quando alguém fica sabendo que você entrou na faculdade para estudar contabilidade.

A realidade diz justamente ao contrario, ao entrar numa faculdade de contabilidade você não passará 4 anos de sua vida estudando somente matemática.

Análise de Projetos de Investimentos com durações diferentes

Prova resolvida de Matemática (66 a 70) do Concurso Assistente Legislativo Câmara PoA

Continuando a resolver, vamos às questões de Matemática de números 66 a 70 da prova de Matemática para o Concurso Público de Assistente Legislativo da Câmara Municipal de Porto Alegre (nível médio), aplicada pela Fundatec em janeiro de 2012. Exercícios detalhadamente resolvidos de provas de Matemática de concursos públicos recentes você somente encontra por aqui mesmo! Lembrando que a prova completa do concurso de Assistente Legislativo, escaneada em pdf, eu deixo disponível para download por aqui: Prova Assistente Legislativo. Vamos às próximas 5 questões!

Questão 66 – Pedro costuma chegar atrasado à aula em 25% das vezes. Carlos chega atrasado em 40% das aulas. O professor prometeu que, na próxima vez em que ambos chegarem atrasados, descontará um ponto na média de cada um. Sabe-se que os atrasos de pedro e de Carlos são independentes entre si. Então, a probabilidade que eles percam um ponto na média é de

A) 9%

B) 10%

C) 50%

D) 90%

E) 100%

Resolução: Questão de probabilidade. Temos na questão dois eventos: Pedro chegar atrasado, e Carlos chegar atrasado. O fato de um chegar atrasado independe do outro fazer o mesmo. Inclusive podem os dois chegarem atrasado, ou mesmo nenhum chegar atrasado. Eventos independentes são caracterizados quando pode haver ocorrência simultânea entre eles. Portanto, o evento “Pedro chegar atrasado” chamarei de P; e o evento “Carlos chegar atrasado” chamarei de C.

Temos, assim, P (P) = 25/100 e P (C) = 40/100. A ocorrência simultânea de dois eventos independentes distintos é dada por P (P ∩ C ) = P (P) x P (C) = 25/100 x 40/100 = 1.000 / 10.000 = 1/10 = 0,10 = 10%. Sempre na ocorrência simultânea de dois eventos, usamos este símbolo ∩, que significa intersecção. Resposta correta: letra B.

Questão 67 – Um prédio tem duas portas, quatro elevadores, cinco andares e dez salas por andar. De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar nesse prédio e ir a uma das salas?

A) 21

B) 50

C) 200

D) 311

E) 400

Resolução: Problema simples de contagem. Achei a mais fácil de toda a prova. Basta multiplicar 2 x 4 x 5 x 10 = 400. É tão fácil que dá até para desconfiar. Resposta certa: letra E.

Questão 68 – Uma questão de uma prova de Estatística apresenta grau médio de dificuldade. João tem 75% de chance de resolvê-la, e Daniel tem 60% de probabilidade de não resolvê-la. Se eles tentam resolver a questão de modo independente, qual será a probabilidade de que a questão seja resolvida?

A) 22,5%

B) 55,0%

C) 70,0%

D) 75,5%

E) 85,0%

Resolução: Outra questão envolvendo eventos independentes. Até parece prova de Estatística. Considerando que a prova é para concurso público para cargo de nível médio, eu achei complexa. Bom, eventos independentes podem ter ocorrência simultânea, conforme o diagrama abaixo:

Chamemos, então, o evento “João resolver a questão” de A; e o evento “Daniel resolver a questão” de B. É dado que P(A) = 75%; e que P(B) = 40%, afinal, se a probabilidade de Daniel não resolver a questão é de 60%, é lógico que a chance de ele resolver será de 40% (100% – 60%): a isso denominamos probabilidade complementar.

O examinador pede a probabilidade de que a questão seja resolvida. Ora, a questão pode ser resolvida somente por Daniel, somente por João, ou mesmo ambos podem resolvê-la simultaneamente. Temos, nesse caso, um Conjunto União. Lembrando que a fórmula da probabilidade da união entre dois eventos independentes é P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B ). Ou seja, somamos o total de A, mais o total de B, e para não duplicarmos a parte comum entre os dois eventos (intersecção), devemos diminuí-la dessa soma. Mas não temos P (A ∩ B ), contudo sabemos, que por serem eventos independentes, P (A ∩ B ) = P(A) x P(B) = 75/100 x 40/100 = 3.000/10.000 = 3/10 = 0,30 = 30%. Isto é, a probabilidade de que ambos resolvam a questão é de 30%. Sabendo isso, vamos agora calcular a probabilidade do conjunto união, fazendo P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B ) = 75% + 40% – 30% = 85%. Portanto, a resposta correta é letra E.

Questão 69 – Na escola Kaplan, 48% dos alunos fizeram exame de Matemática e 40% fizeram exame de Física. Sabe-se ainda que 12% dos alunos fizeram ambos os exames. Nessas condições, a razão do número de alunos que não fizeram o exame de Matemática para o número de alunos que não fizeram o exame de Física é de

A) 7/9

B) 5/6

C) 6/7

D) 13/15

E) 15/13

Resolução: Essa é de razão e proporção, bem mais fácil que a anterior. Se 48% dos alunos fizeram exame de Matemática, deduzimos que 52% deles não fizeram essa prova. Do mesmo modo, se 40% fizeram exame de Física, deduz-se que os outros 60% não fizeram essa prova. O comando da questão pede a razão do número de alunos que não fizeram o exame de Matemática para o número de alunos que não fizeram o exame de Física. Em Matemática, sabemos que razão é o mesmo que divisão, logo: 52/60 = 26/30 = 13/15. Resposta correta: letra D.

Questão 70 – Uma escola tem 2.000 alunos, sendo 800 rapazes e 1.200 moças. Sabe-se que:

I – Do total de alunos: 1.300 praticam algum esporte, 860 jogam xadrez, e 600 praticam algum esporte e jogam xadrez.

II – Do total de moças: 600 praticam algum esporte, 540 jogam xadrez, e 300 praticam algum esporte e jogam xadrez.

Desse modo, o número de rapazes que não pratica algum esporte e não joga xadrez é

A) 80

B) 160

C) 240

D) 360

E) 400

Resolução: Questão mediana, porém muito longa de lógica, raciocínio e probabilidade. Se 600 moças praticam algum esporte, e o total de alunos que praticam algum esporte é de 1.300, então 700 rapazes praticam algum esporte (1.300 – 600). Assim, se 700 rapazes praticam algum esporte, teremos 100 rapazes que não praticam nenhum esporte, afinal, o total de rapazes na escola Kaplan é de 800.

Se 540 moças jogam xadrez, e o total de alunos que jogam xadrez é de 860, então 320 rapazes jogam xadrez (860 – 320). Ora, se 320 rapazes jogam xadrez, teremos outros 480 rapazes que não jogam xadrez, afinal, o total de rapazes na escola Kaplan é de 800.

Se 300 moças praticam algum esporte e jogam xadrez, teremos também 300 rapazes que praticam algum esporte e jogam xadrez, já que 600 alunos praticam algum esporte e jogam xadrez (600 – 300).

Com base nisso, somamos o número de rapazes que praticam algum esporte (700) com os rapazes que jogam xadrez (320). Desse valor (1.020) subtraímos o número de rapazes que jogam algum esporte e praticam xadrez, para não fazermos contagem dupla: 1.020 – 300 = 720. Esses 720 rapazes, portanto, jogam algum esporte ou jogam xadrez. Já que temos um total de 800 rapazes, sobraram 80 (800 – 720) que não jogam nada. Resposta correta: letra A.

Daria para dizer, tranquilamente, que essa bateria de 5 questões, toda elas, envolvem conteúdos de Probabilidade. Reconheço que para resolvê-las corretamente em uma média de 3 minutos por questão, o examinador requer do concursando um bom conhecimento da matéria. Era isso então. Na próxima, se Deus quiser, resolverei as questões de números 71 a 75.

Bom estudo a todos!

Prova resolvida de Matemática (61 a 65) do Concurso Assistente Legislativo Câmara PoA

Vamos começar hoje a resolver as cinco primeiras questões da prova de Matemática para o Concurso Público de Assistente Legislativo da Câmara Municipal de Porto Alegre (nível médio), aplicada pela Fundatec em janeiro de 2012. A prova consta de 20 questões de nível intermediário, para um tempo médio de três minutos por questão. As questões abrangem diversos conteúdos, tais como trigonometria, razão e proporção, divisão direta e inversamente proporcionais, polinômios, regra de três simples e composta, probabilidades, análise  combinatória, porcentagens, geometria plana e espacial e funções. Algumas questões com pega-ratões, algumas difíceis e outras realmente muito fáceis.

O problema que venho notando é o tempo disponível para resolver uma prova dessas (em torno de 1h), que requer do concursando raciocínio rápido e muita atenção para resolver e acertar o máximo de questões. Sem dúvida, o gerenciamento do tempo de prova tem feito parte da avaliação para a banca da Fundatec. Deixo o link para download da prova completa, escaneada em pdf: Prova Assistente Legislativo. Vamos às questões!

Questão 61 – Uma escola de ensino médio tem 400 alunos em seu cadastro, sendo que:

I. 140 são rapazes;

II. 200 são moças que já concluíram o curso; e

III. 30 rapazes ainda não concluíram o curso.

Ao se selecionar aleatoriamente um nome desse cadastro e sabendo-se que o nome retirado foi o de um rapaz, a probabilidade de ele já ter concluído o curso é de

A) 11/14

B) 11/40

C) 10/13

D) 5/14

E) 1/2

Resolução: Questão de probabilidade condicional. Achei fácil. Se 30 rapazes ainda não concluíram o curso, então temos 110 rapazes que concluíram o curso, afinal, o total de rapazes é de 140. Em cálculo de probabilidade, sempre faremos a divisão típica: o que eu quero / o que eu tenho. Na questão pede-se a probabilidade de, sabendo-se que o nome retirado foi de um rapaz – isso caracteriza a probabilidade condicional – ele já ter concluído o curso. Dentre os 140 rapazes (sei que foi um rapaz), qual a probabilidade de ter concluído o curso afinal? P = 110 / 140 = 11 / 14. O que eu quero (já ter concluído o curso, sobre o que eu tenho (total de rapazes). A probabilidade é condicional, pois não considera o universo dos 400 alunos como base de referência, mas apenas os rapazes. Letra A.

Questão 62 – Na reunião de confraternização anual de uma turma de egressos do curso de Engenharia de certa Universidade, todos os presentes se cumprimentaram apertando as mãos uns dos outros, havendo ao todo 120 apertos de mãos. Se nenhum dos prsentes apertou a mão de outro mais de uma vez, pode-se concluir que o número de pessoas nessa reunião era

A) 10

B) 16

C) 36

D) 45

E) 60

Resolução: Questão de Análise Combinatória. Um pouco mais complicada que a anterior. Cada aperto de mão não implica saber a ordem; por exemplo, tanto faz se ana aperta a mão de José ou vice-versa. A ordem não importa, por isso estamos falando de combinação. Como cada aperto de mão envolve duas pessoas, temos uma combinação de n elementos tomados 2 a 2. Para resolver, é preciso conhecer a fórmula: n!/p! (n – p)! = 120. Sabendo que p = 2, temos:

n! / 2! (n – 2)! = 120. Uma equação combinatória. Que, simplificando, teremos um trinômio quadrado perfeito, cuja solução única é 16. Fazendo a prova real, pelo método rápido, realmente dá certo: 16 x 15 / 2! = 120 apertos de mão. Fica então a resposta correta como letra B.

Questão 63 – Numa escola de nível médio, há entre 300 e 500 estudantes. O número de rapazes está para o número de moças assim como três está para quatro. Nessas condições, um possível número total de pessoas que estudam nessa escola é de

A) 341

B) 370

C) 435

D) 480

E) 497

Resolução: Essa questão envolve razão e proporção e critérios de divisibilidade. Se a razão entre o número de rapazes e moças é de 3 para 4, concluímos que para cada 3 rapazes teremos 4 moças. Logo, essa razão ocorre em grupos de 7 em 7, afinal cada grupo contém 3 moças e 4 rapazes. Sabendo isso, basta verificarmos nas alternativas apresentadas qual número é divisível por 7.

O critério da divisão de um número por 7 é o seguinte: pegamos o último algarismo do número e dobramos ele, pegamos esse valor e fazemos a diferença pelo número representado pelos anteriores, e assim sucessivamente. Quer ver?

588 …  8 x 2 = 16 …. sobrou 58 – 16 = 42, que é divisível por 7, logo 588 também é divisível por 7.

600 … 0 x 2 = 0 …. sobrou 60 – 0 = 60, sessenta não é divisível por 7, nem 600.

665 …. 5 x 2 = 10 …. sobrou 66 – 10 = 56, que é divisível por 7, logo 665 também é divisível por 7.

Seguindo o padrão acima explicado, notamos que nem 341, nem 370, nem 435 e nem 480 têm divisão exata por 7. Apenas a última alternativa: 497 …  7 x 2 = 14 … 49 – 14 = 35, que é divisível por 7. Resposta correta: letra E.

Questão 64 – Um pai prometeu, como presente de natal, dividir a importância de R$ 3.720,00 entre seus três filhos: Aline, Beatriz e Carlos. Entretanto, essa divisão será feita de modo inversamente proporcional às faltas que eles tiveram na escola, durante o ano letivo. Sabe-se que Aline faltou duas vezes, Beatriz faltou três e Carlos cinco. Assim, a parte que coube à Beatriz foi de

A) R$ 720,00

B) R$ 1.116,00

C) R$ 1.176,00

D) R$ 1.200,00

E) R$ 1.240,00

Resolução: Típica questão de concurso envolvendo divisão proporcional. Mais precisamente divisão inversamente proporcional. Na divisão inversa, quanto maior as faltas de cada um, menor será sua parte. E vice-versa. Portanto, como em concursos não dá para ficarmos fazendo muita fórmula, fazemos assim na divisão inversa: A = 2  faltas, B = 3 faltas, e C = 5 faltas. Primeiramente, somamos os inversos desses valores: 1/2 + 1/3 + 1/5 = (15 + 10 + 6) / 30 = 31/30. Agora, consideramos o exercício como uma divisão diretamente proporcional aos números 15, 10 e 6, para, A, B e C, respectivamente. Dividimos o valor de R$ 3.720,00 pelo número de partes, que é (15 + 10 + 6) = 31. Teremos 3.720 / 31 = 120 partes.

Portanto, Aline terá 15 x 120 = R$ 1.800,00; Beatriz terá 10 x 120 = 1.200; e Carlos terá 6 x 120 = 720. A soma de cada parte, logicamente, tem de dar o valor total distribuído pelo pai: (1.800 + 1.200 + 720) = R$ 3.720,00. O examinador pede a parte que coube à Beatriz, logo, teremos R$ 1.200. Resposta certa: letra D.

Questão 65 – A XYZ Engenharia se compromete a realizar reparos na rodovia WS – 200 no prazo de 60 dias. A obra tem início com 200 operários trabalhando 8 horas por dia. Decorridos 15 dias, com apenas 1/4 dos trabalhos concluídos, a obra foi interrompida por chuvas torrenciais na região, e só foi retomada 20 dias após. Por contrato, não pode haver alteração na carga horária diária, nem no prazo para a execução da obra. Dadas essas condições, quantos operários a XYZ Engenharia deverá contratar, em caráter emercencial, para finalizar a obra dentro do prazo contratado?

A) 100

B) 160

C) 200

D) 240

E) 360

Resolução: Questão de regra de três composta. Como por contrato mantém-se as 8 horas nas duas situações, nem precisamos considerar a carga horária na regra de três. Ora, temos 200 homens trabalhando 15 horas que fazem 1/4 da obra. Portanto, teremos 200 x 15 dias/homem para fazer 1/4 da obra. O prazo da obra é de 60 dias, descontamos daí os primeiros 15 dias de trabalho ininterruptos, mais 20 dias de chuvas torrenciais, que paralizaram a obra. Assim, fazendo 60 menos 15 menos 20, teremos 25 dias restantes, para não passar do prazo. Teremos então X homens trabalhando 25 dias, e terão de completar a obra, ou seja, terminar a parte restante, que é de 3/4 (1 – 1/4). Fazemos agora a seguinte regrinha de três:

200 * 15 ——- 1/4

X * 25      ——- 3/4

Que, resolvendo de forma cruzada e simplificando, teremos X = 360, ou seja, precisaremos de 360 operários nessa etapa final da obra. Muito cuidado para não se afobar e sair marcando a letra E! Devemos ter atenção ao marcar o gabarito, afinal, a pergunta do examinador é: quantos operários a XYZ Engenharia deverá contratar, em caráter emercencial, para finalizar a obra dentro do prazo contratado? Ou seja, é pedido na questão quantos operários a mais que o padrão, que é 200, a XYZ Engenharia deverá contratar; uma vez que, desses 360 operários, 200 já fazem parte do quadro da empresa. Logo, basta diminuir 360 – 200 = 160. Assim, 160 operários deverão ser contratados a fim de que a obra seja encerrada. Bem bolada a questão, hein?! Resposta certa: letra B.

Por enquanto, era isso. Espero ter clareado algumas dúvidas. Nos próximos posts resolverei as 5 questões seguintes dessa prova de Assistente Legislativo da Câmara Municipal de Porto Alegre.

Abraço a todos e até lá!

O critério de divisibilidade por 7

Neste post, vamos conversar um pouco sobre o critério da divisibilidade por 7, com base em uma questão resolvida recentemente justamente sobre esse conteúdo. Via de regra, estudamos mais os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5 e, quando muito, por 6. Ocorre que o critério de verificação da divisão exata de um número qualquer por 7 é razoavelmente simples. A questão que vou resolver aqui foi recentemente elaborada pela banca da Fundatec, para o concurso de Assistente Legislativo da Câmara Municipal de Porto Alegre. Vamos a ela:

Questão 63 – Numa escola de nível médio, há entre 300 e 500 estudantes. O número de rapazes está para o número de moças assim como três está para quatro. Nessas condições, um possível número total de pessoas que estudam nessa escola é de

A) 341

B) 370

C) 435

D) 480

E) 497

Resolução: Essa questão envolve razão e proporção e critérios de divisibilidade. Se a razão entre o número de rapazes e moças é de 3 para 4, concluímos que para cada 3 rapazes teremos 4 moças. Logo, essa razão ocorre em grupos de 7 em 7, afinal cada grupo contém 3 moças e 4 rapazes. Sabendo isso, basta verificarmos nas alternativas apresentadas qual número é divisível por 7.

O critério da divisão de um número por 7 é o seguinte: pegamos o último algarismo do número e dobramos ele, pegamos esse valor e fazemos a diferença pelo número representado pelos anteriores, e assim sucessivamente. Quer ver?

588 …  8 x 2 = 16 …. sobrou 58 – 16 = 42, que é divisível por 7, logo 588 também é divisível por 7.

600 … 0 x 2 = 0 …. sobrou 60 – 0 = 60, sessenta não é divisível por 7, nem 600.

665 …. 5 x 2 = 10 …. sobrou 66 – 10 = 56, que é divisível por 7, logo 665 também é divisível por 7.

Seguindo o padrão acima explicado, notamos que nem 341, nem 370, nem 435 e nem 480 têm divisão exata por 7. Apenas a última alternativa: 497 …  7 x 2 = 14 … 49 – 14 = 35, que é divisível por 7. Resposta letra E.

Resolvendo uma questão de Mat. Fin. de uma visitante do site

Vou postar aqui uma questão detalhadamente resolvida de Matemática Financeira de uma estudante de Administração de Empresas, visitante aqui do site. Lembro que aqui pelo site aprendamatematica.com há o serviço de resolução de questões de Matemática, Matemática Financeira, Estatística, Cálculo, Contabilidade, Pesquisa Operacional, dentre outras matérias afins. Entre em contato! Vamos ao exercício:

Boa noite, Professor. Meu nome é Jéssica, sou universitária de Administração, e estou ficando quase louca com uma questão que meu professor de Matemática Financeira passou. Será que você pode me ajudar, pois já tentei de todas as formas que estão ao meu alcance. A questão foi discutida em sala de aula, mas ninguém conseguiu chegar no resultado. A questão é a seguinte:

• UMA PESSOA APLICOU 1/8 DO SEU CAPITAL À JUROS SIMPLES (COMERCIAL) DE 36% a.a. PELO PRAZO DE 1 ANO, E O RESTANTE DO DINHEIRO A UMA TAXA DE JUROS DE 42% a.a. PELO MESMO PRAZO. SABENDO-SE QUE UMA DAS APLICAÇÕES RENDEU R$ 3.096,00 DE JUROS MAIS QUE OUTRA, DE QUANTO ERA O SEU CAPITAL INICIAL?

O capital eu chamei de C. A primeira aplicação é C/8. A segunda aplicação é 7C/8, afinal, a soma das duas tem de dar C.
A aplicação com maior rendimento é óbvio que é a segunda, pois a parte do capital dela é maior em sete vezes, além de ter uma taxa maior (42% contra 36%). Então o rendimento da segunda (J2) é igual ao rendimento da primeira mais 3.096, certo?

Ou seja, J2 = J1 + 3.096.

Sabemos que a fórmula dos juros simples é J = C x i x n. Então substituo isso em cada aplicação (J1 e J2), conforme resolvi para você no arquivo em anexo, neste link: questão_resolvida. A resposta é C = 9.600.

Concurso Agente Fiscal da Receita Municipal – Porto Alegre

Finalmente saiu o Edital de abertura do Concurso Público para Agente Fiscal da Receita Municipal de Porto Alegre (AFRM), com vencimentos iniciais de R$ 11.000,00. O concurso foi contratado via dispensa de licitação. A banca responsável pela elaboração das provas será a FMP, e as inscrições vão até 12 de fevereiro. Para maiores informações, acesse aqui. Além deste Cargo, abriram vagas também para Contador e Técnico em Contabilidade, totalizando 21 vagas. Para AFRM, cujas provas serão em 24 de março, entrará conteúdos de Língua Portuguesa, Matemática, Matemática Financeira, Informática, Estatística, Direito Civil, Tributário, Penal, Comercial, Administrativo, Constitucional e Municipal, Contabilidade, e Legislação Tributária Municipal. Se eu não esqueci de nada…

Na verdade, eu imaginava ao menos uns 3 meses entre a publicação do edital e a realização das provas. Mal e parcamente ficou em 2 meses: isso é bom para quem já vem estudando para a área fiscal, ou tem férias para tirar, ou não trabalha e tem tempo para estudar. Estudar somente após publicação de Edital é uma loucura. O ideal é apenas ajustar os estudos quando o edital é publicado. Concurseiro que se preze torce para o Edital não sair…rs rs sr. Alguns cursos preparatórios estão fazendo um verdadeiro mutirão de matérias para tentar vencer esses conteúdos até o dia das provas. Eu diria que seriam apenas cursos compactos. O estudo individual aliado às aulas desses cursos preparatórios é fundamental. Os principais cursos aqui de Porto Alegre que vão “tentar” vencer todo esse conteúdo serão os seguintes (com link): CPC, Curso Greco, Márcia Oliveira e ADMi Concursos (no qual darei aulas de Matemática, Matemática Financeira e Estatística).

Esse Concurso é raríssimo de ocorrer. Ocorreu em 1993, 2000, e agora em 2012: em média, 1 concurso por década. Por isso, quem estava aguardando por esse Concurso, a hora de estudar é agora. Vale a pena todo esforço e renúncia para fazer parte de uma das melhores Classes de Cargos no Município de Porto Alegre.

Na minha época de concurseiro, eu sempre gostava de estudar por provas de concursos anteriores. É lógico que a gente tem que considerar que a banca, a legislação, os conteúdos e os concorrentes mudam. Ainda mais se considerarmos o prazo de 10 anos! Mesmo assim vou disponibilizar as provas anteriores do concurso de agente fiscal da receita municipal de Porto Alegre, realizadas em 2000, para treino, afinal, estudo nunca é demais. A prova está limpinha e com os gabaritos no final da primeira parte! Bom estudo! Deixo abaixo os links para acesso:

Prova AFRM aplicada em 1993:

- prova AFRM1993 – (aproximadamente 7 megas) – sem os gabaritos

Prova AFRM aplicada em 2000:

- prova AFRM parte 1 – (aproximadamente 5 mega) – gabaritos das duas partes no final deste arquivo

- prova AFRM parte 2 – (aproximadamente 4 mega)

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